Einführung in die Trigonometrie

Was ist der Sinus?

Der Sinus ist eine der wichtigsten Funktionen in der Trigonometrie. Er gibt das Verhältnis zwischen zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks an und bezieht sich auf die Winkel in diesem Dreieck.

Sinus in einem rechtwinkligen Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck hat immer einen Winkel von 90 Grad. Die Seite gegenüber diesem rechten Winkel wird die Hypotenuse genannt, und die beiden anderen Seiten sind die Ankathete und die Gegenkathete, bezogen auf einen bestimmten Winkel \( \theta \).

Der Sinus eines Winkels \( \theta \) ist das Verhältnis der Gegenkathete (die Seite gegenüber des Winkels) zur Hypotenuse (der längsten Seite des Dreiecks).

Formel:

sin(θ) = Gegenkathete / Hypotenuse

Beispiel:

Stell dir ein rechtwinkliges Dreieck vor mit:

  • einem Winkel \( θ = 30^\circ \),
  • einer Gegenkathete der Länge 1,
  • und einer Hypotenuse der Länge 2.

Dann wäre der Sinus von 30 Grad:

sin(30°) = 1/2 = 0,5

Das bedeutet, dass für einen Winkel von 30 Grad die Länge der Gegenkathete die Hälfte der Hypotenuse beträgt.

Die anderen trigonometrischen Funktionen: Kosinus und Tangens

Neben dem Sinus gibt es zwei weitere grundlegende trigonometrische Funktionen, den Kosinus und den Tangens. Diese drei Funktionen sind eng miteinander verknüpft und spielen eine zentrale Rolle in der Trigonometrie.

Kosinus (cos θ):

Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis der Ankathete (die Seite neben dem Winkel) zur Hypotenuse.

cos(θ) = Ankathete / Hypotenuse

Tangens (tan θ):

Der Tangens eines Winkels ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete. Man kann ihn auch als das Verhältnis von Sinus zu Kosinus betrachten.

tan(θ) = Gegenkathete / Ankathete = sin(θ) / cos(θ)

Beispiel:

Für denselben Winkel \( θ = 30^\circ \) haben wir:

  • Sinus: sin(30°) = 0,5,
  • Kosinus: cos(30°) ≈ 0,866,
  • Tangens: tan(30°) = 0,577.

Wie funktionieren Sinus, Kosinus und Tangens auf dem Einheitskreis?

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius 1, der seinen Mittelpunkt im Ursprung eines Koordinatensystems hat. Auf diesem Kreis lassen sich Sinus, Kosinus und Tangens für jeden Winkel \( θ \) grafisch darstellen.

  • Der Sinus eines Winkels ist die y-Koordinate des Punktes auf dem Kreis, der durch den Winkel \( θ \) bestimmt wird.
  • Der Kosinus eines Winkels ist die x-Koordinate desselben Punktes.
  • Der Tangens ist das Verhältnis von Sinus zu Kosinus.

Wichtige Winkel und ihre Sinus- und Kosinuswerte:

  • 0°: sin(0°) = 0, cos(0°) = 1
  • 30°: sin(30°) = 0,5, cos(30°) ≈ 0,866
  • 45°: sin(45°) ≈ 0,707, cos(45°) ≈ 0,707
  • 60°: sin(60°) ≈ 0,866, cos(60°) = 0,5
  • 90°: sin(90°) = 1, cos(90°) = 0

Wichtige Beziehungen und Sätze der Trigonometrie

1. Satz des Pythagoras

Für jedes rechtwinklige Dreieck gilt:

Hypotenuse² = Ankathete² + Gegenkathete²

Das ist der berühmte Satz des Pythagoras, der besagt, dass die Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist.

2. Trigonometrische Identitäten

Es gibt auch einige wichtige Identitäten, die immer gelten, unabhängig vom Winkel \( θ \).

    • Sinus- und Kosinus-Identität:
sin²(θ) + cos²(θ) = 1
    • Diese Beziehung zeigt, dass der Sinus und der Kosinus eines Winkels immer miteinander verbunden sind.
    • Tangens-Identität:
tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)

Zusammenfassung:

  • Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse.
  • Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse.
  • Der Tangens ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete, oder einfach: \( tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) \).
  • Der Satz des Pythagoras und trigonometrische Identitäten wie \( sin²(θ) + cos²(θ) = 1 \) spielen eine zentrale Rolle in der Trigonometrie.