Was ist die Funktion f(x)?

In der Mathematik steht f(x) für eine Funktion. Eine Funktion nimmt einen Input x und liefert einen Output, der von x abhängt. Man kann es sich wie eine Maschine vorstellen: Du gibst etwas hinein (Input x) und bekommst etwas heraus (Output).

Beispiel: Die Funktion f(x) = x^2 bedeutet, dass das Ergebnis das Quadrat von x ist. Wenn du also x = 3 eingibst, erhältst du f(3) = 9. Funktionen beschreiben oft Beziehungen in der Physik, Informatik oder Biologie.

Was ist der mysteriöse Buchstabe e?

Die Konstante e (ungefähr 2,71828) ist eine der fundamentalsten Zahlen in der Mathematik, ähnlich wie die Zahl Pi (π). Sie tritt häufig auf, wenn es um Wachstumsprozesse geht – sei es in der Zinseszins-Berechnung, der Populationsbiologie oder in der Quantenphysik.

Ein bekanntes Beispiel für e ist die exponentielle Funktion: f(x) = e^x. Diese Funktion beschreibt ein Wachstum, das immer schneller wird, je größer x ist. Du findest dieses Verhalten oft in der Natur, zum Beispiel bei der Ausbreitung von Bakterien oder beim radioaktiven Zerfall.

Warum ist e so besonders? Die Zahl e ist der Grenzwert der Gleichung (1 + 1/n)^n, wenn n gegen Unendlich strebt. Das heißt, je größer n wird, desto näher kommt der Ausdruck der Zahl e.

Beispiel für die Verwendung der Konstante e: Exponentielles Wachstum

In vielen Bereichen wie der Biologie, Wirtschaft und Physik beschreibt die Funktion f(t) = e^{kt} das Wachstum, das sich im Laufe der Zeit beschleunigt. Ein häufiges Beispiel ist das Bevölkerungswachstum oder der Zinseszins in der Finanzmathematik.

Beispiel: Angenommen, du hast eine Anfangsinvestition, die sich jährlich mit einer Wachstumsrate von k = 0.05 (5%) verzinst. Die Funktion zur Berechnung des Kapitals nach t Jahren lautet dann:

Nach 10 Jahren beträgt der Wert der Investition:

Das bedeutet, dass sich die Investition um etwa 65% erhöht hat.