Die Reise in die Quantenphysik: Teil 5 – Qubits, Gatter, Algorithmen und Fehlerkorrektur

Wir haben inzwischen ein Gefühl für Zustände, Messungen, Operatoren, Interferenz, Dekohärenz und Dynamik entwickelt. Jetzt bauen wir daraus ein Arbeitsgerät: Quanteninformation. Das Ziel dieses Teils ist klar: Aus physikalischen Grundideen werden Bausteine, aus Bausteinen werden Schaltungen, aus Schaltungen werden Algorithmen – und dann schauen wir ehrlich auf Rauschen und Fehlerkorrektur. Schritt für Schritt, immer mit der Brücke zwischen Formel, Bild und realem Labor.

1) Qubit: die kleinste Informationseinheit mit Phase

Ein Qubit ist ein Zweiniveau-System, dessen allgemeiner reiner Zustand geschrieben wird als

|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩, mit |α|² + |β|² = 1.

Die komplexen Amplituden α und β sind mehr als „Gewichte“ – ihre relative Phase trägt Interferenz. Auf der Bloch-Kugel ist jeder reine Zustand ein Punkt auf der Oberfläche; Nordpol ist |0⟩, Südpol |1⟩. Rotationen der Kugel entsprechen unitären Operationen am Qubit – physikalisch z. B. Mikrowellenpulse, Laser, oder optische Phasenplatten.

Einordnung zur Messung

Eine Messung in der Z-Basis („0/1“) liefert „0“ mit Wahrscheinlichkeit |α|² und „1“ mit |β|². Drehst du vor der Messung mit einem Hadamard H in die X-Basis, fragst du stattdessen „+ oder −?“ – dieselbe Realität, andere Fragestellung.

2) Elementare 1-Qubit-Gatter

Gatter sind kleine, fest definierte unitäre Operationen. Die wichtigsten im Standardbaukasten:

  • Pauli: X, Y, Z entsprechen 180°-Drehungen um x, y, z der Bloch-Kugel. 
     X = [[0,1],[1,0]], Y = [[0,−i],[i,0]], Z = [[1,0],[0,−1]]
  • Hadamard H: Basiswechsel zwischen Z- und X-Basis, erzeugt und löscht Superpositionen: 
     H = (1/√2) [[1, 1],[1, −1]]

    Wirkung: H|0⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2 = |+⟩, H|1⟩ = (|0⟩−|1⟩)/√2 = |−⟩.

  • Phasen-Gatter: S = diag(1,i), T = diag(1,e^{iπ/4}). Sie drehen um die Z-Achse; zusammen mit H und einem 2-Qubit-Gatter erhältst du Universalität.
  • Rotationen: R_x(θ) = e^{−i θ σ_x/2}, analog R_y, R_z. In Plattformen sind das die „Knöpfe“, die wirklich gedreht werden.

3) 2-Qubit-Gatter und Verschränkung

Verschränkung ist ein Ressourcenbegriff: Ohne sie wären Quantenalgorithmen nur „komische Zufallsmaschinen“. Das Standardgatter ist CNOT (kontrolliertes X):

 CNOT |c,t⟩ = |c, t ⊕ c⟩.

Mit einem Hadamard auf dem Kontrollqubit erzeugst du eine Bell-Superposition:

 |00⟩ --H⊗I--> (|00⟩ + |10⟩)/√2 --CNOT--> (|00⟩ + |11⟩)/√2 = |Φ⁺⟩.

Weitere 2-Qubit-Gatter: kontrollierte Phasen CP(φ), CZ, SWAP. Universell (für die ganze Unitärgruppe) ist z. B. das Set {H, T, CNOT}.

4) Das Schaltbild-Modell – wie man „Quantenprogramme“ liest

Ein Quantenschaltbild hat Zeilen (Qubits) und Bausteine (Gatter) von links nach rechts. Die Reihenfolge ist kritisch: Gatter kommutieren im Allgemeinen nicht. Messsymbole am Ende geben klassisches Bit-Ergebnis. Ein paar Miniprogramme:

  • Interferenztest: |0⟩ —H—H—Measure(Z). Ergebnis: immer „0“. Der erste H baut Superposition, der zweite löscht sie konstruktiv. Dazwischen ein Phasengatter R_z(φ) führt zu einer cos²(φ/2)-Kurve der „0“-Häufigkeiten.
  • Bell-Erzeugung: |00⟩ —H⊗I—CNOT— messbar verschränkt.
  • Superdense Coding / Teleportation: Gleiche Bauklötze, anderes Arrange­ment – die Macht liegt im Versetzen von H, CNOT, Z/X und Messungen.

5) Drei Einstiegsalgorithmen: vom Aha-Effekt zur Beschleunigung

5.1 Deutsch–Jozsa (strukturelle Entscheidung in einem Durchlauf)

Gegeben eine Blackbox-Funktion f:{0,1}^n→{0,1}, die entweder konstant oder balanciert ist. Klassisch braucht man im ungünstigsten Fall viele Abfragen; quantum reicht ein Durchlauf.

  1. Bereite |0⟩^{⊗ n}|1⟩, lege auf alle H.
  2. Wende die Oracle-Operation U_f: |x,y⟩→|x, y⊕f(x)⟩ an.
  3. Lege wieder H auf die ersten n Qubits und messe.

Ergebnis: „alle Nullen“ → f war konstant; sonst balanciert. Hinter dem Trick steckt Phasen-„Buchhaltung“: Die globalen Muster in f werden in Interferenz übersetzt.

5.2 Bernstein–Vazirani (versteckter Bitstring in einem Durchlauf)

Es gibt einen geheimen String s∈{0,1}^n und f_s(x)=s·x (mod 2). Das gleiche Setup wie oben liefert nach einem Durchlauf direkt s. Kernidee: Das Oracle prägt eine Phase (−1)^{s·x} ein, die die nachfolgenden Hadamards wieder „auslesen“.

5.3 Grover-Suche (quadratische Beschleunigung)

Wir suchen ein markiertes Element unter N=2^n Optionen. Klassisch im Mittel O(N), quantum O(√N) Abfragen.

  1. Starte in der gleichverteilten Superposition |ψ₀⟩ = H^{⊗ n}|0…0⟩.
  2. Oracle spiegelt die markierten Zustände an der Phasenachse: |w⟩→−|w⟩.
  3. Diffusion spiegelt an der Mittellinie: D = 2|ψ₀⟩⟨ψ₀| − 𝟙.
  4. Wiederhole Oracle+Diffusion etwa k ≈ ⌊(π/4)√N⌋ Mal; die Erfolgswahrscheinlichkeit steigt nahe 1.

Anschaulich ist Grover eine Rotation in einer 2D-Ebene, die von dem markierten Zustand und dem Restspan aufgespannt wird. Jedes „Grover-Pärchen“ dreht die Amplitude ein Stück in Richtung der Lösung.

6) Die Quanten-Fourier-Transformation (QFT)

Die QFT ist das lineare Herz vieler Algorithmen (Shor, Phasenschätzung, periodische Strukturen):

 QFT_N : |x⟩ → (1/√N) ∑_{k=0}^{N−1} e^{2πi xk/N} |k⟩, N=2^n.

Sie zerfällt in eine Kaskade aus Hadamards und kontrollierten Phasen R_k = diag(1, e^{iπ/2^{k−1}}) plus Bitumkehr. Gate-Kosten O(n²). Warum sie wirkt: Periodische Muster im Zeit-/Index-Raum werden in scharfe Peaks im „Frequenz“-Register übersetzt.

Phasenschätzung (PEA) in einem Satz

Gegeben eine Unitär U und einen Eigenzustand |ψ⟩ mit U|ψ⟩ = e^{2πiθ}|ψ⟩. PEA kopiert Information über θ in ein Hilfsregister via kontrollierte U^{2^k}-Anwendungen und liest mit einer QFT aus. Rechentrick: Viele „kleine“ kontrollierte Anwendungen statt einer „großen“ direkten Messung.

7) Rauschen in echten Geräten: T₁, T₂ und Gate-Fehler

Kein Labor ist perfekt. Drei Praxisgrößen begegnen dir immer:

  • T₁ (Relaxation): Zeit, in der ein angeregter Zustand ins Grundniveau „auskühlt“.
  • T₂ (Dephasierung): Zeit, in der Phaseninformation verloren geht (ohne Energieverlust).
  • Gatterfehler: Abweichung eines realen Pulses von der idealen Unitär (Amplitude, Timing, Kalibrierung).

Ein Algorithmus mit Tiefe/„Laufzeit“ muss innerhalb der Kohärenzfenster liegen oder durch Fehlerkorrektur stabilisiert werden. Das ist der praktische Gegenpol zur schönen Theorie.

8) Erste Fehlerkorrektur: Bit-Flip, Phase-Flip, Shor & Steane

Quantenfehlerkorrektur (QEC) ist das Kunststück, ohne den Informationsgehalt zu messen dennoch Fehlerindikatoren (Syndrome) zu gewinnen und zu korrigieren. Kernprinzip: Redundanz in größerem Code-Raum, Messung von kommutierenden Stabilizern, Rückführung per Korrekturoperation.

8.1 Bit-Flip-Code (3-Qubit)

Schütze gegen X-Fehler, indem du logisches |0_L⟩=|000⟩, |1_L⟩=|111⟩ nimmst. Stabilizer: Z₁Z₂ und Z₂Z₃. Syndrom liest aus, welches einzelne Qubit geflippt wurde, danach korrigiere mit X an der Stelle. Analog der Phase-Flip-Code (gegen Z) entsteht, wenn du vorher in die X-Basis „wechselst“ (H-Gatter).

8.2 Shor-Code (9-Qubit)

Kombiniert Bit- und Phase-Schutz: Zuerst dreifach codieren, dann jede der drei Gruppen nochmals phasen-kodieren. Er korrigiert beliebige Ein-Qubit-Fehler, weil jede Pauli-Störung als Kombination aus X/Z betrachtet werden kann.

8.3 Steane-Code (7-Qubit)

Ein CSS-Code mit eleganter Struktur, der aus klassischen Hamming-Codes abgeleitet ist. Vorteile: effizientere Syndrome, schöne Transversalitätseigenschaften (manche logische Gatter wirken qubitweise ohne Fehlerverschmierung).

Stabilizer-Sprache (kompakt)

Ein Code wird als Menge kommutierender Operatoren {S_i} beschrieben, die den Code-Unterraum fixieren: gültige Zustände erfüllen S_i|ψ⟩=|ψ⟩ für alle i. Ein Fehler E ändert Vorzeichen einzelner S_i – das Muster der Vorzeichen ist das Syndrom. Korrektur heißt: Finde ein E', das die Syndrome zurücksetzt, ohne die logische Information zu zerstören.

9) Fault-Tolerance in einem Satz und der Surface-Code

„Fehlerfrei rechnen mit fehlerhaften Bausteinen“ wird möglich, wenn die physische Fehlerrate unter einer Schwelle liegt und man genügend Redundanz nutzt. In vielen Plattformen ist der Surface-Code der Arbeitspferd-Kandidat: Qubits liegen auf einem 2D-Gitter, Stabilizer sind lokale „Plaquettes“ (Z-Checks) und „Sterne“ (X-Checks). Vorteile: nur Nachbar-Interaktionen, relativ hohe Fehlerschwellen. Bild im Kopf: Ein Fischnetz aus Paritätsmessungen fängt einzelne Fehler, bevor sie zu Rissen werden.

10) Dynamische Fehlerunterdrückung: wenn Korrigieren zu teuer ist

  • Spin-Echo / CPMG: Sequenzen aus π-Pulsen, die langsam drehende Phasenfehler rückwärts „spulen“.
  • Komposit-Pulse (BB1, CORPSE): Statt eines riskanten großen Drehers eine Folge kleinerer Rotationen, die Kalibrierfehler ausmitteln.
  • Randomized Compiling: Zufalls-Paulis um Gatter, um kohärente Fehler in harmloseres Rauschen zu verwandeln.

Das Ziel ist immer dasselbe: Interferenz bewahren, Rauschen in „leichter korrigierbare“ Formen pressen.

11) Plattformen im Überblick – wie die Theorie auf Metall, Ionen und Licht trifft

  • Supraleitende Qubits: Mikrowellenkreise bei mK-Temperaturen; schnelle Gatter (ns–μs), viele Leitungen, Surface-Code-freundlich.
  • Gefangene Ionen: Qubits in elektronischen Zuständen, gekoppelt über gemeinsame Schwingungen; sehr kohärent, Gatter etwas langsamer, hohe Einzellesequalität.
  • Neutrale Atome / Rydberg: Viele Qubits in optischen Gittern, Blockade-Effekte erlauben Mehrkörper-Gatter; Skalierungsfantasie groß.
  • Photonik: Qubits in Pfad/Polarisation/Zeitscheiben; gut für Kommunikation und Bosonensampling, Korrektur via Detektoren und nichtlinearen Tricks.
  • Festkörper-Spins (NV-Zentren, Quantenpunkte): Kombination aus Optik und Mikrowellen, teils bei Raumtemperatur, gut für Sensorik.

Jede Plattform hat ihre „natürlichen“ Gatter und Fehlerkanäle – deswegen sehen Schaltbilder in echten Experimenten je nach Hardware etwas unterschiedlich aus.

12) Ein durchgerechneter Mini-Workflow: Superdichte Codierung

Ziel: Zwei klassische Bits mit einem einzigen Quantenbit übertragen. Zutaten: ein geteiltes Bell-Paar, lokale Operationen, eine Messung.

  1. Ressource: Erzeuge |Φ⁺⟩ = (|00⟩+|11⟩)/√2. Ein Qubit bei Alice, eins bei Bob.
  2. Kodierung: Abhängig von den zwei Bits b₁b₂ wendet Alice eines von {I, X, Z, XZ} auf ihr Qubit an. Tabelle: 
     00 → I, 01 → X, 10 → Z, 11 → XZ.

    Diese vier Operationen mappen |Φ⁺⟩ auf vier orthogonale Bell-Zustände.

  3. Übertragung: Alice schickt ein Qubit (ihr part) zu Bob.
  4. Dekodierung: Bob führt eine Bell-Messung durch, z. B. mittels CNOT (Alice→Bob) und H auf dem ersten Qubit, dann Messung in Z. Die zwei Messergebnisse sind genau b₁b₂.

Physikalisches Fazit dieses Workflows: Verschränkung ist ein Kanalbooster; ohne sie wäre pro Qubit auch nur ein klassisches Bit übertragbar.

13) Variations-Algorithmen: wenn volle Fehlerkorrektur (noch) fehlt

Auf heutiger Hardware nutzt man gern Variations-Ansätze (VQA). Idee: Eine parametrische Schaltung U(θ) mit wenigen, gut kalibrierbaren Rotationen; ein Kostenfunktional E(θ)=⟨ψ(θ)|Ĥ|ψ(θ)⟩; ein klassischer Optimierer, der θ nach Messungen anpasst. Beispiele:

  • VQE (Energie-Minimum): Finde Grundzustände von Molekülen oder Modellen.
  • QAOA (Kombinatorik): Abwechseln aus „Mischung“ und „Kosten-Phasen“, Tiefe als Qualitätshebel.

Warum dieser Weg anschaulich passt: Du drehst buchstäblich Knöpfe auf der Bloch-Kugel, misst, wie „gut“ der Zustand ist, und drehst weiter – ein sichtbarer Regelkreis zwischen Physik und Optimierung.

14) Ressourcen und Grenzen: Tiefe, Breite, T-Zählung

In praktischen Entwürfen zählt man nicht nur Gatter, sondern T-Gatter (weil sie teuer in Fault-Toleranz sind), die Schaltungstiefe (zusammenhängende Zeit) und die Breite (Zahl der Qubits). Shor-ähnliche Algorithmen brauchen QFT-Bausteine und viele kontrollierte Operationen; Grover skaliert in der Zahl Oracle-Anwendungen. Diese Metriken entscheiden, ob ein Plan „innerhalb der Kohärenz“ liegt – oder Fehlerkorrektur verlangt.

15) „Handwärmer“: kleine Übungen, die Verständnis festigen

  1. Bloch-Koordinaten: Für |ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^{iφ} sin(θ/2)|1⟩: Zeige ⟨σ_x⟩ = sinθ cosφ, ⟨σ_y⟩ = sinθ sinφ, ⟨σ_z⟩ = cosθ.
  2. Bell-Zustände erzeugen: Baue alle vier aus |Φ⁺⟩ mit X und Z auf einem Qubit. Welche Operation liefert |Ψ⁻⟩?
  3. Grover-Geometrie: Leite her, dass die Winkelzunahme pro Iteration 2θ beträgt, wenn sinθ = 1/√N.
  4. QFT-Zerlegung: Schreibe die 3-Qubit-QFT als Sequenz H und kontrollierter R_k. Welche ist die Bitumkehr am Ende?
  5. Bit-Flip-Syndrome: Simuliere (gedanklich) einen Fehler X auf dem zweiten Qubit des 3-Qubit-Codes. Welche Werte messen Z₁Z₂ und Z₂Z₃?

16) Intuition weiter schärfen: Phasen sind Buchhaltung

Wenn du einen Algorithmus entwirrst, stelle drei Fragen:

  1. Welche Basis ist „natürlich“ für das Problem (Z, X, Fourier-/QFT-Basis)?
  2. Wo wird Verschränkung erzeugt und wieder „geerntet“ (Gatter wie CNOT/CZ)?
  3. Wie wird Phase in ein Messsignal verwandelt (Hadamards, Interferenzkämme, PEA)?

Diese Mini-Checkliste macht Schaltungen lesbar. Du siehst dann Grover nicht als Mysterium, sondern als wiederholte, wohlgezielte Spiegelung an zwei Geraden im Zustandsraum.

17) Kleine Formelsammlung zum Mitnehmen

 Hadamard: H = (1/√2) [[1,1],[1,−1]] Pauli: X = [[0,1],[1,0]], Y = [[0,−i],[i,0]], Z = [[1,0],[0,−1]] Rotation: R_n(θ) = e^{−i θ (n·σ)/2} CNOT: |c,t⟩ → |c, t⊕c⟩ Diffusion: D = 2|ψ₀⟩⟨ψ₀| − 𝟙, |ψ₀⟩=H^{⊗ n}|0…0⟩ QFT: |x⟩ → (1/√N) ∑_k e^{2πi xk/N} |k⟩ Phasenschätzung: kontrollierte U^{2^k} + QFT† → Bits von θ Bit-Flip-Code: |0_L⟩=|000⟩, |1_L⟩=|111⟩, Stabilizer: Z₁Z₂, Z₂Z₃ Stabilizer-Satz: S_i|ψ⟩=|ψ⟩, Syndrome = Vorzeichen der S_i

18) Mentale Bilder, die tragen

  • Gatter als Drehungen: Du drehst Pfeile auf der Bloch-Kugel. Einfache Drehungen (Rx, Ry, Rz) und „Kopplungs-Drehungen“ (CNOT/CZ) reichen, um jede Musik zu spielen.
  • Verschränkung als Klammer: Zwei Pfeile, die einzeln unbestimmt sind, aber gemeinsam einen klaren Takt halten – Information „sitzt in der Beziehung“.
  • Fehler als Wind: Kleine Böen verschieben Winkel (Dephasierung) oder drücken Pfeile zum Pol (Relaxation). Echo-Sequenzen sind Windschatten, Codes sind Wetterschutz.

19) Woran man Reifepläne misst

Wenn du eine Idee bewertest („Können wir Problem X mit Quanten besser lösen?“), prüfe:

  1. Struktur: Gibt es Periodizität oder Phasenmuster, die QFT/PEA berühren?
  2. Oracle-Kosten: Lässt sich eine Zielbedingung als effiziente Phasendrehung kodieren (Grover-Stil)?
  3. Ressourcen: Qubit-Zahl, Tiefe, T-Zählung vs. T₁/T₂ und erwartbare Fehlerraten.
  4. Mitigation/Code: Reicht Dynamik-Unterdrückung, oder braucht es echten Code (Surface, Steane)?

20) Worauf wir als Nächstes aufsetzen

Jetzt stehen die Werkzeuge bereit: Qubits, Gatter, Verschränkung, QFT und Phasenschätzung, Grover-Rotation, Code-Syndrome und Stabilizer-Denken. Im nächsten Teil heben wir das auf universitäres Niveau, indem wir drei Brücken schlagen: (i) Hamilton-Simulation und Trotterisierung als allgemeine „Physik-Rechenmaschine“, (ii) präzise Fehlerschwellen und fault-tolerante Logik (inklusive magischer Zustände und T-Distillation), (iii) die Landkarte der Variations- und Digitalschemata für reale Materialien, Chemie und Optimierung – jeweils so, dass die nötigen Ressourcen und Kompromisse klar werden.
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